如图所示，在空间内有一直角坐标系xOy，直线OP与x轴正方向夹角为30°，第一象限内有两个方向均垂直纸面向外的匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，直线OP是它们的理想边界，OP上方区域Ⅰ中磁场的磁感

Question

如图所示，在空间内有一直角坐标系xOy，直线OP与x轴正方向夹角为30°，第一象限内有两个方向均垂直纸面向外的匀强磁场区域Ⅰ和Ⅱ，直线OP是它们的理想边界，OP上方区域Ⅰ中磁场的磁感应强度为B，在第四象限内有一沿x轴负方向的匀强电场，一质量为m、电荷量为q的质子（不计重力及质子对磁场、电场的影响）以速度v从O点沿与OP成30°角方向垂直磁场进入区域Ⅰ，质子先后通过磁场区域Ⅰ和Ⅱ后，恰好垂直通过x轴上的Q点（未画出）进入第四象限内的匀强电场中，最后从y轴上的A点与y轴负方向成60°角射出，求：
（1）区域Ⅱ中磁场的磁感应强度大小；
（2）Q点到O点的距离；
（3）匀强电场的电场强度E的大小．

Answer 1

（1）设质子在磁场I和II中做圆周运动的轨道半径分别为r₁和r₂，
区域II中磁感应强度为B′，质子运动轨迹如图所示：

由牛顿第二定律得：qvB=m(v2)/(r1)  ①，
qvB′=m(v2)/(r2)  ②
粒子在两区域运动的轨迹如图所示，由几何关系可知，质子从A点出磁场I时的速度方向与OP的夹角为30°，
故质子在磁场I中轨迹的圆心角为：θ=60°，
则△O₁OA为等边三角形  OA=r₁ ③
r₂=OAsin30°④
由①②③④解得区域II中磁感应强度为  B′=2B；
（2）Q点坐标：x=OAcos30°+r₂=r₁cos30°+r₂，
解得：x=(√(3)+1)/(2)•(mv)/(qB)；
（3）质子在电场中做类平抛运动，
水平方向：x=(1)/(2)at²=(1)/(2)(qE)/(m)t²，
质子在A点离开电场时：tan60°=(vy)/(v)=((qE)/(m)t)/(v)，
解得：E=(3vB)/(√(3)+1)；
答：（1）区域II中磁场的磁感应强度大小为2B；
（2）Q点到O点的距离为(√(3)+1)/(2)•(mv)/(qB)；
（3）匀强电场的电场强度E的大小为(3vB)/(√(3)+1)．