高二立体几何(急)正三棱住P-ABC中,M,N分别是PB,PC的终点,若截面AMN垂直于侧面PBC,则次棱锥面与底面所成二面角是多少?答案是arccos根号6／6

Question

高二立体几何(急)
正三棱住P-ABC中,M,N分别是PB,PC的终点,若截面AMN垂直于侧面PBC,则次棱锥面与底面所成二面角是多少?
答案是arccos根号6／6

Answer 1

设侧棱长a,底边长b,做PO垂直面ABC于O,记MN中点为D,连PD并延长交BC于E,连接AE
因为这个是正三棱锥,所以O为正三角形ABC的中心,
而在等腰三角形PBC内,D为中位线MN的中点,
有E为BC中点,PE垂直BC,
所以AE垂直BC,且O在AE上
根据二面角定理,知道角PEO就是二面角的平面角
又面AMN垂直面PBC,而PE垂直MN,
所以PE垂直面AEP
连接AD,则AD垂直面PBC,AD垂直PE
又PD=DE,所以AP=AE
所以a=√3/2*b
又cos角AEP=√3/6*b/[1/2*√(a^2-b^2/4)=√6/3
所以tan角AEP=√2/2
所以,45度