设数列{an}，{bn}满足0＜an＜π2，0＜bn＜π2，cosan-an=cosbn且级数∞n＝1bn收敛．（1）证明limn→∞an＝0；（2）证明级数∞n＝1anbn收敛．

Question

设数列{a_n}，{b_n}满足0＜an＜(π)/(2)，0＜bn＜(π)/(2)，cosa_n-a_n=cosb_n且级数

∞

n＝1

bn收敛．
（1）证明

lim

n→∞

an＝0；
（2）证明级数

∞

n＝1

(an)/(bn)收敛．

Answer 1

（1）证明：由cosa_n-a_n=cosb_n，及0＜an＜(π)/(2)，0＜bn＜(π)/(2)可得0＜an＝cosan−cosbn＜(π)/(2)，所以0＜an＜bn＜(π)/(2)，
由于级数

∞

n＝1

bn收敛，所以级数

∞

n＝1

an也收敛，由收敛的必要条件可得

lim

n→∞

an＝0．
（2）证明：由于0＜an＜(π)/(2)，0＜bn＜(π)/(2)，
所以sin(an+bn)/(2)≤(an+bn)/(2)，sin(bn−an)/(2)≤(bn−an)/(2)

(an)/(bn)＝(cosan−cosbn)/(bn)＝(2sin(an+bn)/(2)sin(bn−an)/(2))/(bn)

       ≤(2(an+bn)/(2)(bn−an)/(2))/(bn)＝(b2n−a2n)/(2bn)＜(b2n)/(2bn)＝(bn)/(2)

由于级数

∞

n＝1

bn收敛，由正项级数的比较审敛法可知级数

∞

n＝1

(an)/(bn)收敛．