f（x）在[0，+∞）上内闭Riemann可积，且∫+∞0f（x）dx收敛，求证：lima→0+∫+∞0e-axf（x）dx=∫+∞0f（x）dx．

Question

f（x）在[0，+∞）上内闭Riemann可积，且

∫

+∞ 0

f（x）dx收敛，求证：

lim

a→0+

∫

+∞ 0

e^-axf（x）dx=

∫

+∞ 0

f（x）dx．

Answer 1

证明：考虑a∈[0，b]，（b>0），因为e-ax关于x单调，且|e-ax|≤1，∀a∈[0，b]，x∈[0，+∞），而广义积分∫+∞0f(x)dx收敛，由阿贝尔判别法知，∫+∞0e-axf(x)dx对于a∈[0，b]一致收敛，又函数f（x）在[0，+∞）内...