曲线x＝t−ℓn(1+t2)y＝arctant在t=2处的曲率为5252．

Question

曲线

x＝t−ℓn(1+t2)

y＝arctant

  在t=2处的曲率为

(5)/(√(2))

(5)/(√(2))

．

Answer 1

因为(dy)/(dx)=(y′(t))/(x′(t))=((1)/(1+t2))/(1−(2t)/(1+t2))=(1)/((t−1)2)，
(d2y)/(dx2)=((d)/(dt)((dy)/(dx)))/((dx)/(dt))=(−(2)/((t−1)3))/(1−(2t)/(1+t2))=−(2(1+t2))/((t−1)5)，
所以 (dy)/(dx)|t＝2=1，(d2y)/(dx2)|t＝2=-10．
由曲率的计算公式k（x）=(|y″|)/((1+(y′)2)(3)/(2)) 可得，
k|_t=2=(|−10|)/((1+1)(3)/(2))=(5)/(√(2))．
故答案为：(5)/(√(2))．