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(2012•丰台区一模)已知:△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形,其中BA=BC,DA=DE,连接EC,取EC的中点M,连接BM和DM.(1)如图1,如果点D、E分别在边AC、AB上,那么BM、DM的数量关系
题目详情
(2012•丰台区一模)已知:△ABC和△ADE是两个不全等的等腰直角三角形,其中BA=BC,DA=DE,连接EC,取EC的中点M,连接BM和DM.
(1)如图1,如果点D、E分别在边AC、AB上,那么BM、DM的数量关系与位置关系是______;
(2)将图1中的△ADE绕点A旋转到图2的位置时,判断(1)中的结论是否仍然成立,并说明理由.
(1)如图1,如果点D、E分别在边AC、AB上,那么BM、DM的数量关系与位置关系是______;
(2)将图1中的△ADE绕点A旋转到图2的位置时,判断(1)中的结论是否仍然成立,并说明理由.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵M是EC的中点,
∴BM=
EC,DM=
EC,(直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半),
∴DM=BM.
∵M是EC的中点,
∴MC=
EC,
∴BM=MC=DM,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∵∠BME=∠1+∠2,∠EMD=∠3+∠4,
∴∠BMD=2(∠1+∠3),
∵△ABC等腰直角三角形,
∴∠BCA=45°,
∴∠BMD=90°,
∴BM=DM且BM⊥DM;
故答案为:BM=DM且BM⊥DM.
(2)成立.
理由如下:延长DM至点F,使MF=MD,连接CF、BF、BD.
在△EMD和△CMF中,
∵
∴△EMD≌△CMF(SAS),
∴ED=CF,∠DEM=∠1.
∵AB=BC,AD=DE,且∠ADE=∠ABC=90°,
∴∠2=∠3=45°,∠4=∠5=45°.
∴∠BAD=∠2+∠4+∠6=90°+∠6.
∵∠8=360°-∠5-∠7-∠1,∠7=180°-∠6-∠9,
∴∠8=360°-45°-(180°-∠6-∠9)-(∠3+∠9),
=360°-45°-180°+∠6+∠9-45°-∠9=90°+∠6.
∴∠8=∠BAD.
在△ABD和△CBF中,
∵
,
∴△ABD≌△CBF(SAS),
∴BD=BF,∠ABD=∠CBF.
∴∠DBF=∠ABC=90°.
∵MF=MD,
∴BM=DM且BM⊥DM.
∴BM=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴DM=BM.
∵M是EC的中点,
∴MC=
1 |
2 |
∴BM=MC=DM,
∴∠1=∠2,∠3=∠4,
∵∠BME=∠1+∠2,∠EMD=∠3+∠4,
∴∠BMD=2(∠1+∠3),
∵△ABC等腰直角三角形,
∴∠BCA=45°,
∴∠BMD=90°,
∴BM=DM且BM⊥DM;
故答案为:BM=DM且BM⊥DM.
(2)成立.
理由如下:延长DM至点F,使MF=MD,连接CF、BF、BD.
在△EMD和△CMF中,
∵
|
∴△EMD≌△CMF(SAS),
∴ED=CF,∠DEM=∠1.
∵AB=BC,AD=DE,且∠ADE=∠ABC=90°,
∴∠2=∠3=45°,∠4=∠5=45°.
∴∠BAD=∠2+∠4+∠6=90°+∠6.
∵∠8=360°-∠5-∠7-∠1,∠7=180°-∠6-∠9,
∴∠8=360°-45°-(180°-∠6-∠9)-(∠3+∠9),
=360°-45°-180°+∠6+∠9-45°-∠9=90°+∠6.
∴∠8=∠BAD.
在△ABD和△CBF中,
∵
|
∴△ABD≌△CBF(SAS),
∴BD=BF,∠ABD=∠CBF.
∴∠DBF=∠ABC=90°.
∵MF=MD,
∴BM=DM且BM⊥DM.
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