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若自然数x,y满足x>y,x+y=2A,xy=G2,若A,G都是两位数,且互为反序数,求x,y.(注:数字排列顺序相反的两个数互为反序数,如12和21)
题目详情
若自然数x,y满足x>y,x+y=2A,xy=G2,若A,G都是两位数,且互为反序数,求x,y.(注:数字排列顺序相反的两个数互为反序数,如12和21)
▼优质解答
答案和解析
设A=10a+b,则G=10b+a,其中a和b都是1到9的自然数,则
x+y=20a+2b,xy=(10b+a)2=100b2+20ab+a2,
∴(x+y)2=(20a+2b)2=400a2+80ab+4b2,
(x-y)2=(x+y)2-4xy=396a2-396b2=22×32×11(a+b)(a-b),
因为x、y都是自然数,所以(x-y)2是完全平方数,
所以(a+b)和(a-b)中必有一个是11的倍数,
∵a和b都是1到9的自然数,
∴a+b=11,
于是a-b也是一个完全平方数,
只能a=6,b=5,
所以(x-y)2=(2×3×11)2,
∴x-y=66,
x+y=20a+2b=130,
解得:x=98,y=32.
x+y=20a+2b,xy=(10b+a)2=100b2+20ab+a2,
∴(x+y)2=(20a+2b)2=400a2+80ab+4b2,
(x-y)2=(x+y)2-4xy=396a2-396b2=22×32×11(a+b)(a-b),
因为x、y都是自然数,所以(x-y)2是完全平方数,
所以(a+b)和(a-b)中必有一个是11的倍数,
∵a和b都是1到9的自然数,
∴a+b=11,
于是a-b也是一个完全平方数,
只能a=6,b=5,
所以(x-y)2=(2×3×11)2,
∴x-y=66,
x+y=20a+2b=130,
解得:x=98,y=32.
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