(1)求出所有的正整数n,使2^n-1被7整除.(2)求证：没有正整数n能使2^n+1被7整除

Question

(1)求出所有的正整数n,使2^n-1被7整除.(2)求证：没有正整数n能使2^n+1被7整除

Answer 1

2^3-1=7,因此n=3时可以被7整除.下面证明n=3k,其中k是正整数时被7整除.
2^(3k)-1=8^k-1=(7+1)^k=7^k+k*7^(k-1)+...+7k能被7整除.当n=3k+1时,2^n-1=8^k*2-1=(7m+1)*2-1=14m+1不能被7整除.类似证明n=3k+2时不能.
由上面证明已知n=3k时,2^n=7m+1,因此2^n+1=7m+2不能被7整除；
n=3k+1时,2^n+1=2^(3k)*2+1=(7m+1)*2+1=14m+3不能被7整除；
n=3k+2时,2^n+1=2^(3k)*4+1=(7m+1)*4+1=28m+5不能被7整除.