数列{an}的前n项和是sn，且sn=nan2，a2=2．（1）求{an}的通项公式；（2）若不等式tsn＞s2n对任意不小于2的正整数n都成立，求t的取值范围．

Question

数列{a_n}的前n项和是s_n，且s_n=(nan)/(2)，a₂=2．
（1）求{a_n}的通项公式；
（2）若不等式ts_n＞s_2n对任意不小于2的正整数n都成立，求t的取值范围．

Answer 1

a₁=S₁=(a1)/(2)，a₁=0，
S₂=a₁+a₂=a₂=2，
a_n+1=S_n+1-S_n=(1)/(2)（n+1）a_n+1-(1)/(2)na_n，
（n-1）a_n+1=na_n，
(an+1)/(n)＝(an)/(n−1)＝…＝(a2)/(1)＝2，
a_n=2（n-1）．
（2）S_n=na（n）/2=n（n-1）．
S_2n=2n（2n-1）．
0＜tS_n-S_2n=tn（n-1）-2n（2n-1）
=n（tn-t-4n+2）
=n（tn-2t-4n+8+t-6）
=n[t（n-2）-4（n-2）+t-4-2]
=n[（t-4）（n-2）+（t-4）-2]
=nf（t，n）．
t≤4时，f（t，n）＜0，
4＜t时，f（t，n）=（t-4）（n-2+1-(2)/(t−4)），
f（t，2）=（t-4）•（1-(2)/(t−4)），
0＜1-(2)/(t−4)=(t−6)/(t−4)，t＞6．
t＞6，n≥2时，
tS_n-S_2n=n[（t-4）（n-2）+（t-6）]＞0满足要求．
因此，t的取值范围是 t＞6．