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已知a,b均为有理数,根号a,根号b均为无理数.求证：根号a+根号b也是无理数.
题目详情
已知a,b均为有理数,根号a,根号b均为无理数.求证：根号a+根号b 也是无理数.
▼优质解答
答案和解析
这个题目用反证法比较好.
假设√a+√b为有理数,
由于(√a+√b)(√a-√b)=a-b ,a、b为有理数推出a-b为有理数,而且√a+√b都是有理数,所以√a-√b也为有理数.
然后,√a+√b、√a-√b都是有理数,所以他们的和2√a、差2√b也应该为有理数.这已经和题目给出的条件相矛盾了,所以假设不成立.
所以√a+√b为无理数.
假设√a+√b为有理数,
由于(√a+√b)(√a-√b)=a-b ,a、b为有理数推出a-b为有理数,而且√a+√b都是有理数,所以√a-√b也为有理数.
然后,√a+√b、√a-√b都是有理数,所以他们的和2√a、差2√b也应该为有理数.这已经和题目给出的条件相矛盾了,所以假设不成立.
所以√a+√b为无理数.
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