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设连续函数f:R→R在所有无理数处取有理数值且f(0)=1求f(x)
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设连续函数f:R→R在所有无理数处取有理数值 且f(0)=1 求f(x)
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答案和解析
f(x)恒等于1
假设函数的取值不是常数,那么必存在无理数x1,x2∈(a,b),使得f(x1)≠f(x2),又因为条件要求所有无理点取有理值,因此f(x1)和f(x2)为不同的有理数,在(f(x1),f(x2))区间内存在无穷多个无理数,设其中一个是y；由于函数是连续的,必存在无理数x3∈(x1,x2),使得f(x3)=y,这与条件所有无理点取有理值相矛盾,因此假设不成立,在区间(a,b)之间函数的取值是一个常数有理数.又f(0)=1,所以f(x)=1
假设函数的取值不是常数,那么必存在无理数x1,x2∈(a,b),使得f(x1)≠f(x2),又因为条件要求所有无理点取有理值,因此f(x1)和f(x2)为不同的有理数,在(f(x1),f(x2))区间内存在无穷多个无理数,设其中一个是y；由于函数是连续的,必存在无理数x3∈(x1,x2),使得f(x3)=y,这与条件所有无理点取有理值相矛盾,因此假设不成立,在区间(a,b)之间函数的取值是一个常数有理数.又f(0)=1,所以f(x)=1
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