无限个有理数相加一定是有理数吗(可能是无理数吗)?“数学归纳法”是否有缺陷?数学老师讲过：“无限个数的运算法则与有限个数是不同的.比如0+0=0,但是n个0相加不一定等于0,当n趋于无

Question

无限个有理数相加一定是有理数吗(可能是无理数吗)?“数学归纳法”是否有缺陷?
数学老师讲过：“无限个 数 的运算法则与有限个 数 是不同的.比如0+0=0,但是n个0相加不一定等于0,当n趋于无穷时,1/n=0,而n个1/n相加是1,而不是0,故“n个0相加等于0”这个命题只成立于有限个项的运算.所以无限个 数的运算法则是不同于有限个 数的.”
所以我总觉得“有限运算”与“无限运算”之间有着不可逾越的障碍.
可是“数学归纳法”正是有限与无限之间的纽带,它竟把二者联系了起来,那么它会不会有一定的缺陷呢?
以下这个问题困扰了我好久：
我们知道,两个有理数相加一定是有理数.(这个应该是真理吧?)
但是,无限个有理数相加一定是有理数吗?
①不一定.
因为任意一个小于1的正无理数都可以看做是无限个有理数an(n是角标)相加而得的.（其中an=A×10^-n,A∈{0,1,2,3,4,5,6,7,8,9},n∈N*）
比如：
取a1=3,a2=0.1,a3=0.04,a4=0.001,a5=0.0005……,按照π的数字将数列an写下去,易得an中所有数均为有理数
且lim(n→∞)Sn=π,得到了无理数.即无限个有理数相加可能得到无理数
②一定
可以用“数学归纳法”推出：
设无穷数列{a(n)}中所有项均为有理数,设该数列前n项和为S(n),
则：若S(k)为有理数,则有：S(k+1)=S(k) + a(k+1)
∵两个有理数相加一定是有理数
∴S(k+1)也是有理数
又∵S(1)为有理数
所以“S(n)为有理数”对任意n∈N*恒成立.
即：“无限个有理数相加一定是有理数”得证.
请问①与②哪个正确?
以上证明是否存在逻辑错误?
望高手指导,感激不尽!

Answer 1

1.先说前面认识上的错误.n个0相加肯定为0.但1/n不等于0. 2.(1)是对的,无穷多个有理数相加可能为无理数.(2)的结论是错误的.数学归纳法是证明对一切n成立.不管n有多大.但结论对n趋于无穷的极限不一定成立.任何n和n趋于无穷的极限是两个概念.比如1/n>0,但1/n趋于0