（2002•西城区）已知：AB为⊙O的直径，P为AB延长线上的一个动点，过点P作⊙O的切线，设切点为C．（1）当点P在AB延长线上的位置如图1所示时，连接AC，作∠APC的平分线，交AC于点D，请你测

Question

（2002•西城区）已知：AB为⊙O的直径，P为AB延长线上的一个动点，过点P作⊙O的切线，设切点为C．

（1）当点P在AB延长线上的位置如图1所示时，连接AC，作∠APC的平分线，交AC于点D，请你测量出∠CDP的度数；
（2）当点P在AB延长线上的位置如图2和图3所示时，连接AC，请你分别在这两个图中用尺规作∠APC的平分线（不写作法，保留作图痕迹）．设此角平分线交AC于点D，然后在这两个图中分别测量出∠CDP的度数；猜想：∠CDP的度数是否随点P在AB延长线上的位置的变化而变化？请对你的猜想加以证明．

Answer 1

（1）测量结果：∠CDP=45°，图2中的测量结果：∠CDP=45°，图3中的测量结果：∠CDP=45°．

（2）猜想：∠CDP=45°为确定的值，∠CDP的度数不随点P在AB延长线上的位置的变化而变化．
证法一：连接BC
∵AB是⊙O直径
∴∠ACB=90°
∵PC切⊙O于点C
∴∠1=∠A
∵PD平分∠APC
∴∠2=∠3
∵∠4=∠1+∠2，∠CDP=∠A+∠3
∴CDP=45°
∴猜想正确．
证法（二）：连接OC
∵PC切⊙O于点C
∴PC⊥OC
∴∠1+∠CPO=90°
∵PD平分∠APC
∴∠2=(1)/(2)∠CPO
∵OA=OC
∴∠A=∠3
∵∠1=∠A+∠3
∴∠A=(1)/(2)∠1
∴∠CDP=∠A+∠2=(1)/(2)（∠1+∠CPO）=45°
∴猜想正确．