正方形ABCD中,M为AB中点,MN垂直MD,BN平分角CBE并交MN于N,求证MD=MNE为AB延长线上一点,且BE

Question

正方形ABCD中,M为AB中点,MN垂直MD,BN平分角CBE并交MN于N,求证MD=MN
E为AB延长线上一点,且BE

Answer 1

延长BN交DC延长线于K点,延长MN交DC延长线于L点,MN交BC于P点.
三角形AMD和三角形MBP相似（90角,角PMB=角ADM）,所以令ABCD变长为2*a,则MD=（5^0.5）*a,MB=a,BP=0.5*a,CP=1.5*a.
三角形MBP和三角形CPL相似（90角,角PMB=角MLC）所以CL=3*a.
三角形BCK为等腰直角三角形,CK=2*a,所以KL=a.
三角形MBN和三角形NKL全等（对角相等,角NMB=角NLK,对应边MB=KL=a）,所以MN=NL=0.5*ML.
三角形BML为直角三角形,MD=（5^0.5）*a,DL=2*a+2*a+a=5*a,勾股定理ML=（20^0.5）*a=2*（5^0.5）*a,所以MN=0.5*ML=（5^0.5）*a=MD