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(2000•湖州)如图,已知AB是⊙O的直径,PC切⊙O于C,AD⊥PD,CM⊥AB,垂足分别为D,M.(1)求证:CB平分∠PCM;(2)若∠CBA=60°,求证:△ADM为等边三角形;(3)若PO=5,PC=a,⊙O的半径为r
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/f636afc379310a55c3a36c76b44543a9832610a8.jpg)
(1)求证:CB平分∠PCM;
(2)若∠CBA=60°,求证:△ADM为等边三角形;
(3)若PO=5,PC=a,⊙O的半径为r,且a,r是关于x的方程x2-(2m+1)x+4m=0的两根,求m的值.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:延长CM与圆相交于E,连接OC,OE;
∵CM⊥AB,
∴
=
.
∴∠COP=∠EOP.
∴∠BCP=
∠COP,∠MCB=
∠EOP.
∴∠BCP=∠MCB,CB平分∠PCM.
(2)证明:∵∠CBA=60°,
∴∠1=∠ACD=30°.
∵∠COB是△AOC的外角,
∴∠COB=60°.
又∵AD⊥PC,OC⊥PC,
∴AD∥OC,∠DAM=∠COB=60°.
∵△BOC是等边三角形,CM⊥OB,
∴∠BCM=30°.
∵CB平分∠PCM,
∴∠PCB=30°.
∴∠1=∠PCB=30°.
又∵∠DAM=60°,
∴∠DAC=∠1=30°.
∴AC是∠DAM的平分线.
∵∠ADC=∠CMA=90°,
∴CD=CM,△ADC≌△AMC,AD=AM.
∴∠ADM=∠AMD.
又∵∠DAM=60°,
∴∠DAM=∠ADM=∠AMD=60°.
即△ADM为等边三角形;
(3)∵PO=5,PC=a,⊙O的半径为r,
∴在Rt△OCP中,OC2+PC2=OP2
即r2+a2=52①
∵a,r是关于x的方程x2-(2m+1)x+4m=0的两根
∴a+r=2m+1,ar=4m ②
∴(a+r)2=a2+r2+2ar ③
把①②代入③得(2m+1)2=25+8m,解得m=3或m=-2(舍去)
故m=3.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/f3d3572c11dfa9ec15a9e49561d0f703908fc1a9.jpg)
∵CM⊥AB,
∴
![]() |
CB |
![]() |
BE |
∴∠COP=∠EOP.
∴∠BCP=
1 |
2 |
1 |
2 |
∴∠BCP=∠MCB,CB平分∠PCM.
(2)证明:∵∠CBA=60°,
∴∠1=∠ACD=30°.
∵∠COB是△AOC的外角,
∴∠COB=60°.
又∵AD⊥PC,OC⊥PC,
∴AD∥OC,∠DAM=∠COB=60°.
∵△BOC是等边三角形,CM⊥OB,
∴∠BCM=30°.
∵CB平分∠PCM,
∴∠PCB=30°.
∴∠1=∠PCB=30°.
又∵∠DAM=60°,
∴∠DAC=∠1=30°.
∴AC是∠DAM的平分线.
∵∠ADC=∠CMA=90°,
∴CD=CM,△ADC≌△AMC,AD=AM.
∴∠ADM=∠AMD.
又∵∠DAM=60°,
∴∠DAM=∠ADM=∠AMD=60°.
即△ADM为等边三角形;
(3)∵PO=5,PC=a,⊙O的半径为r,
∴在Rt△OCP中,OC2+PC2=OP2
即r2+a2=52①
∵a,r是关于x的方程x2-(2m+1)x+4m=0的两根
∴a+r=2m+1,ar=4m ②
∴(a+r)2=a2+r2+2ar ③
把①②代入③得(2m+1)2=25+8m,解得m=3或m=-2(舍去)
故m=3.
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