已知，如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C分别在坐标轴上，且OA=OB=OC，S△ABC=25．点P从C点出发沿y轴负方向以1个单位/秒的速度向下运动，连接PA、PB，D为线段AC的中点．（1）求D点的坐标

Question

已知，如图，在平面直角坐标系中，点A、B、C分别在坐标轴上，且OA=OB=OC，S_△ABC=25．点P从C点出发沿y轴负方向以1个单位/秒的速度向下运动，连接PA、PB，D为线段AC的中点．
（1）求D点的坐标；
（2）设点P运动的时间为t秒，求当t为何值时，DP与DB垂直相等；
（3）若PA=PB，在第四象限内有一动点Q，连QA、QB、QP，且∠QBA=∠PBQ+∠QAB=30°．当Q在第四象限内运动时，判断△APQ的形状，并说明理由．

Answer 1

（1）设OA=OB=OC=a，则AB=OA+OB=2a，
S_△ABC= (1)/(2)•AB•OC=a²=25，
解得：a=5．
故点A（-5，0），点B（5，0），点C（0，-5）．
又∵D为线段AC的中点，
∴点D坐标为（- (5)/(<)divclass=′quizPutTag′contenteditable=′true′></div>2，- (5)/(2)）．（2）过点D作DM⊥x轴于M，DN⊥y轴于N，∴DM=DN，∠MDN=90°，∵∠MDB+∠BDN=90°，∠DNP+∠BDN=90°，∴∠MDB=∠DNP，所以可证△MDB≌△NDP（ASA），∴PN=BM=7.5，PC=5，∴t=5．（3）△APQ是等腰三角形，理由如下：在y轴负半轴上取一点M，使AM=AB，∴△ABM为等边三角形，∵∠PBQ+∠QAB=30°，∠PBQ+∠PBM=30°，∴∠QAB=∠PBM，∵∠BMO=∠ABQ=30°，可证△ABQ≌△BMP（ASA），∴AQ=BP，又∵BP=AP，∴AQ=AP，∴△APQ是等腰三角形．