如图所示，在某装置中有一匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直于xOy所在的纸面向外．某时刻在x=L0、y=0处，一质子沿y轴的负方向进入磁场；同一时刻，在x=-L0、y=0处，一个α粒子也进入磁场

Question

如图所示，在某装置中有一匀强磁场，磁感应强度为B，方向垂直于xOy所在的纸面向外．某时刻在x=L₀、y=0处，一质子沿y轴的负方向进入磁场；同一时刻，在x=-L₀、y=0处，一个α粒子也进入磁场，速度方向与磁场垂直．不考虑质子与α粒子的重力及其间的相互作用力．设质子的质量为m、电量为e．
（1）如果质子经过坐标原点O，它的速度为多大？
（2）如果α粒子与质子在坐标原点O相遇，α粒子的速度应为何值？

Answer 1

（1）根据题设条件，质子进入磁场的速度方向垂直于x轴，可知质子运动的轨道半径必在x轴上，又因质运动时经过坐标原点，故其轨道半径r_P=(1)/(2)L₀，设粒子的运动速度为v_P，由牛顿第二定律得：
m (vp2)/(rp)=eBv_p
所以解得质子的速度为：v_p=(eBL0)/(2m)
（2）首先对粒子运动的时间特征进行研究：质子做圆周运动的周期为T_P=(2πm)/(eB)，而α粒子的荷质比为质子的2倍，因此α粒子的运动周期为质子运动周期的2倍，即T_α=(4πm)/(eB)．由于匀速圆周运动是周期性的运动，因而质子将多次穿过坐标原点O，其时间为：
t_p=(Tp)/(2)，(3Tp)/(2)，(5Tp)/(2)…
而这些时刻又分别与α粒子运动的以下时间对应着t_α=(Tα)/(4) (3Tα)/(4)，(5Tα)/(4)…
即如果α粒子在时刻t=(1)/(4)T_a到达O点，它运行了(1)/(4)周期；如果α粒子在时刻t=(3)/(4)T_a到达O点，它运行了(3)/(4)周期．
因此，α粒子进入磁场处与O点之间的连线必为(1)/(4)圆周或(3)/(4)圆周所对的弦，如图所示（可以看出t_a=(5Tα)/(4)等情形不必再考虑）．在图作出圆弧所对应的圆心角，建立几何关系，不难得到α粒子运动的轨道半径为：
r_α=(√(2))/(2)L₀
设α粒子运动的速度为v_a，则由牛顿运动定律得：4m•(vα2)/(rα)=2e•B•v_α
并综合以上各式，可得：v_α=(√(2)BL0)/(4m)
对应着两种不同的轨迹，粒子运动的速度方向有两个，如图所示，为：
θ₁=(π)/(4)，θ₂=(3π)/(4)
答：（1）如果质子经过坐标原点O，它的速度为v_p=(eBL0)/(2m)；
（2）如果α粒子与质子在坐标原点O相遇，α粒子的速度应为v_α=(√(2)BL0)/(4m)．