如图，在平面直角坐标系中，两个一次函数y=x，y=-2x+12的图象相交于点A，动点E从O点出发，沿OA方向以每秒1个单位的速度运动，作EF∥y轴与直线BC交于点F，以EF为一边向x轴负方向作正方形E

Question

如图，在平面直角坐标系中，两个一次函数y=x，y=-2x+12的图象相交于点A，动点E从O点出发，沿OA方向以每秒1个单位的速度运动，作EF∥y轴与直线BC交于点F，以EF为一边向x轴负方向作正方形EFMN，设正方形EFMN与△AOC的重叠部分的面积为S.

（1）求点A的坐标；
（2）求过A、B、O三点的抛物线的顶点P的坐标；
（3）当点E在线段OA上运动时，求出S与运动时间t（秒）的函数表达式；
（4）在（3）的条件下，t为何值时，S有最大值，最大值是多少？此时（2）中的抛物线的顶点P是否在直线EF上，请说明理由.

Answer 1

（1）依题意得 解得
        ∴点A的坐标为(4，4)；
（2）直线y=-2x+12与x轴交点B的坐标为（6，0）.
         设过A、B、O的抛物线的表达式为y=ax ² +bx， 
         依题意得 解得
       ∴所求抛物线的表达式为
       = ∴点P坐标（3， ）；
（3）设直线MF、NE与y轴交于点P、Q，
        则△OQE是等腰直角三角形.
        ∵OE=1×t= t， ∴EQ=OQ= ，∴E（ ， ）. 
       
       
       ①当EF＞QE时， 即 ＞ ，解得
        
       ②当EF≤QE时，即 ≤ ，解得
        ；
（4）
       ∴当 时，S _最大 =12 .      .  .   
       当 时，S _最大 =( ) ² =9. 
       ∴当 时，S _最大 =12.
          当 时，E（2，2），F（2，8），
         ∵P（3， ），∴点P不在直线EF上.