如图所示，在直角坐标系xoy的第一象限内存在沿y轴负方向、场强为E的匀强电场，在第四象限内存在垂直纸面向外、磁感应强度为B的匀强磁场，在磁场与电场分界线的x轴上有一

Question

如图所示，在直角坐标系 xoy 的第一象限内存在沿 y 轴负方向、场强为 E 的匀强电场，在第四象限内存在垂直纸面向外、磁感应强度为 B 的匀强磁场，在磁场与电场分界线的 x 轴上有一无限大的薄隔离层．一质量为 m、电量为+q、初速度为零的带电粒子，从坐标为（ x  ₀ ，y  ₀ ）的 P 点开始被电场加速，经隔离层垂直进入磁场，粒子每次穿越隔离层的时间极短，且运动方向不变，其穿越后的速度是每次穿越前速度的 k 倍（ k＜1）．不计带电粒子所受重力．求：
（1）带电粒子第一次穿越隔离层进入磁场做圆周运动的半径 R  ₁ ；
（2）带电粒子第二次穿越隔离层进入电场达到最高点的纵坐标  y ₁ ；
（3）从开始到第三次穿越隔离层所用的总时间  t；
（4）若带电粒子第四次穿越隔离层时刚好到达坐标原点 O，则 P 点横坐标 x ₀ 与纵坐标 y ₀ 应满足的关系．

Answer 1

（1）第一次到达隔离层时速度为v ₀
qEy _o = (1)/(2) mv _o ² ，v ₀ =

(2qE y0)/(m)

第一次穿越隔离层后速度为v ₁ =k

(2qE y0)/(m)

由qv ₁ B=m (v12)/(R1) ，得第一次在磁场中做圆周运动半径为 R ₁ = (m v1)/(qB) =

(2 k2 mE y0)/(q B2)

（2）第二次穿越隔离层后速度为v ₂ =k ²

(2qE y0)/(m)

-qEy ₁ =0- (1)/(2) mv ₂ ² ，得y ₁ =k ⁴ y ₀
（3）由y _o = (1)/(2) (qE)/(m) t ₀ ² ，得第一次到达隔离层的时间为 t ₀ =

(2m y0)/(qE)

圆周运动的周期T= (2πm)/(qB)
第一次在磁场中做圆周运动时间为 t ₁ = (T)/(2) = (πm)/(qB)
第二次穿越隔离层后到达最高点时间为 t ₂ = (v2)/(a) =k  ²

(2m y0)/(qE)

从开始到第三次穿越隔离层所用总时间
t=t ₀ +t ₁ +2t ₂ =（1+2 k ² ）

(2 y0 m)/(qE)

+ (πm)/(qB)
（4）第三次穿越隔离层后的速度为v  ₃ =k  ³

(2qE y0)/(m)

第二次在磁场中做圆周运动半径为R ₂ =

(2 k6 mE y0)/(q B2)

x ₀ =2R ₁ +2R ₂ =（ 2 k+2 k  ³ ）

(2mE y0)/(q B2)

答：（1）带电粒子第一次穿越隔离层进入磁场做圆周运动的半径为

(2 k2 mE y0)/(q B2)

．
（2）带电粒子第二次穿越隔离层进入电场达到最高点的纵坐标y ₁ =k ⁴ y ₀
（3）从开始到第三次穿越隔离层所用的总时间为（1+2 k ² ）

(2 y0 m)/(qE)

+ (πm)/(qB) ．
（4）P 点横坐标 x ₀ 与纵坐标 y ₀ 应满足的关系为：x ₀ =（ 2 k+2 k ³ ）

(2mE y0)/(q B2)

．