如果x=p/q是多项方程y=ax3+bx2+cx+d的一个有理数解,p和q都是正整数,a,b,c,d是整数,a不等于零,证明p是d的一个因数,q是a的一个因数

Question

如果x=p/q是多项方程y=ax3+bx2+cx+d的一个有理数解,p和q都是正整数,a,b,c,d是整数,a不等于零,证明p是d的一个因数,q是a的一个因数

Answer 1

x=p/q是多项方程y=ax3+bx2+cx+d的一个有理数解
则ax3+bx2+cx+d=0有个根是x=p/q.
ap^3/q^3+bp^2/q^2+cp/q+d=0
(ap3+bp^2q+cpq^2+dq^3)/q^3=0
ap3+bp^2q+cpq^2+dq^3=0
p和q都是正整数,a,b,c,d是整数,
bp^2q,cpq^2,dq^3都是q的倍数.
则ap^3是q的倍数.
因为p,q是互质的,所以a 是q的倍数.
所以q是a的一个因数.
同样,ap3,bp^2q,cpq^2都是p的倍数,
则dq^3是p的倍数.
d是p的倍数.
p是d的一个因数.
得证