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当n为正整数时,函数N(n)表示n的最大奇因数,如N(3)=3,N(10)=5,…,设Sn=N(1)+N(2)+N(3)+N(4)+…+N(2n-1)+N(2n),则Sn=4n+234n+23.
题目详情
当n为正整数时,函数N(n)表示n的最大奇因数,如N(3)=3,N(10)=5,…,设Sn=N(1)+N(2)+N(3)+N(4)+…+N(2n-1)+N(2n),则Sn=
.
4n+2 |
3 |
4n+2 |
3 |
▼优质解答
答案和解析
由N(x)的性质可得知,当x是奇数时,x的最大奇数因子明显是它本身.因此N(x)=x,当x是偶数时,参看下面的讨论,
因此由这样一个性质,我们就可将Sn进行分解,分别算出奇数项的和与偶数项的和进而相加,即Sn=S奇+S偶,
∴S奇=N(1)+N(3)+…+N(2n-1)=1+3+…2n-1=
× 2n−1=4n-1
当x是偶数时,且x∈[2k,2k+1)①当k=1时,x∈[2,4)该区间包含的偶数只有2,而N(2)=1所以该区间所有的偶数的最大奇因数之和为T1=1
②当k=2时,x∈[4,8),该区间包含的偶数为4,6,所以该区间所有的最大奇因数偶数之和为T2=1+3=4
③当k=3时,x∈[8,16),该区间包含的偶数为8,10.,12,14,则该区间所有偶数的最大奇因数之和为T3=1+3+5+7=16,因此我们可以用数学归纳法得出当x∈[2k,2k+1)该区间所有偶数的最大奇因数和Tk=4k-1.
∴对k从1到n-1求和得T1+T2+…+Tn-1=
∴S偶=T1+T2+…+Tn-1+N(2n)=
综上可知Sn=S奇+S偶=4n-1+
=
故答案为
因此由这样一个性质,我们就可将Sn进行分解,分别算出奇数项的和与偶数项的和进而相加,即Sn=S奇+S偶,
∴S奇=N(1)+N(3)+…+N(2n-1)=1+3+…2n-1=
1+2n−1 |
2 |
当x是偶数时,且x∈[2k,2k+1)①当k=1时,x∈[2,4)该区间包含的偶数只有2,而N(2)=1所以该区间所有的偶数的最大奇因数之和为T1=1
②当k=2时,x∈[4,8),该区间包含的偶数为4,6,所以该区间所有的最大奇因数偶数之和为T2=1+3=4
③当k=3时,x∈[8,16),该区间包含的偶数为8,10.,12,14,则该区间所有偶数的最大奇因数之和为T3=1+3+5+7=16,因此我们可以用数学归纳法得出当x∈[2k,2k+1)该区间所有偶数的最大奇因数和Tk=4k-1.
∴对k从1到n-1求和得T1+T2+…+Tn-1=
4n−1−1 |
3 |
∴S偶=T1+T2+…+Tn-1+N(2n)=
4n−1+2 |
3 |
综上可知Sn=S奇+S偶=4n-1+
4n−1+2 |
3 |
4n+2 |
3 |
故答案为
4n+2 |
3 |
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