两个相邻的自然数,它们各个数位上的数码之和都是11的倍数.满足条件的自然数有无限多对,最小的一对是?悬赏：50

Question

两个相邻的自然数,它们各个数位上的数码之和都是11的倍数.满足条件的自然数有无限多对,最小的一对是 ?
悬赏： 50

Answer 1

我来试试吧...
分析：
设 N=anan-1...a2a1a0
11| an +an-1 +...+a2 +a1 +a0 ,
设an +an-1 +...+a2 +a1 +a0=11M ,M是正整数
那么 an +an-1 +...+a2 +a1 +a0 +1一定不是11的倍数
故N+1≠anan-1...a2a1(a0+1)
也就是说,一定有进位的情况.假设进了k位...
1.当N+1进1个位时,末尾数字a0=9,进位后变成0,a1变成a1+1
数字之和改变+1-9=-8
2.当N+1进k位时,a0=a1=...=ak-1=9,进位后变成0,ak变成ak+1
数字之和改变+1-9k=1-9k
由题,an +an-1 +...+a2 +a1 +a0 +1-9k=11M+1-9k≡0(mod11)
1-9k≡0(mod11),9k≡1≡45(mod11)
故k≡5(mod11) k≥5
也就是说,至少进5位
当进5位时,a0=a1=a2=a3=a4=9
N=anan-1...a5 99999 0≤a5≤8
an +an-1 +...+a2 +a1 +a0=an+an-1+...+a5+45≡0(mod11)
an+an-1+...+a5≡10(mod11)
∵ 0≤a5≤8,故至少要再加两位数,才能使an+an-1+...+a5≡10(mod11)
a6要尽可能的小 ,取a6=2,a5=8
N=2899999 N+1=2900000 满足条件