两个整数平方和的乘积等于一个新的整数平方和,用几何证明代数法已知.求几何法,无论牵扯到多少知识都行,代数法太没美感了.

Question

两个整数平方和的乘积等于一个新的整数平方和,用几何证明
代数法已知.求几何法,无论牵扯到多少知识都行,代数法太没美感了.

Answer 1

不知道你学过复数没有.需要高中知识即可.
有个概念叫共轭复数.
共轭复数的模长相等,幅角相反.
x+yi的共轭是x-yi
(x+yi)(x-yi)=x^2+y^2
复数的c乘法有交换律,结合律,所以有
(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(a+bi)(a-bi)(c+di)(c-di)=[(a+bi)(c+di)][(a-bi)(c-di)]
注意到[(a+bi)(c+di)]与[(a-bi)(c-di)]共轭,乘积的共轭与共轭的乘积是一样的.
[(a+bi)(c+di)]=(ac-bd)+(bc+ad)i
[(a-bi)(c-di)]=(ac-bd)-(bc+ad)i
所以(a^2+b^2)(c^2+d^2)=(ac-bd)^2+(bc+ad)^2