柯西不等式高中应用包括3个数的平方和的最值等一系列结论

Question

柯西不等式高中应用 包括3个数的平方和的最值等一系列结论

Answer 1

二维形式　　(a^2+b^2)(c^2+ d^2)≥(ac+bd)^2 　　等号成立条件：ad=bc (a/b=c/d) 　　扩展：（（a1)^2;+(a2)^2;+(a3)^2;+...+(an)^2;)((b1)^2;+(b2)^2;+(b3)^2;+...(bn)^2；）≥（a1b1+a2b2+a3b3+..+anbn)^2; 　　等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn（当ai=0或bi=0时ai和bi都等于0,不考虑ai:bi,i=1,2,3,…,n） 　　三角形式 　　√（a^2+b^2)+√（c^2+d^2）≥√[(a-c)^2+(b-d)^2] 　　等号成立条件：ad=bc 　　注：“√”表示平方根, 　　向量形式 　　|α||β|≥|α·β|,α=(a1,a,…,an）,β=(b1,b,…,bn）（n∈N,n≥2） 　　等号成立条件：β为零向量,或α=λβ（λ∈R）. 　　一般形式 　　（∑（ai^2；））（∑（bi^2;)) ≥ （∑ai·bi)^2; 　　等号成立条件：a1:b1=a2:b2=…=an:bn,或ai、bi均为零. 　　上述不等式等同于图片中的不等式. 　　推广形式 　　(x1+y1+…）（x2+y2+…）…（xn+yn…）≥[（Πx)^(1/n)+（Πy)^(1/n)+…]^n 　　注：“Πx”表示x1,x2,…,xn的乘积,其余同理.此推广形式又称卡尔松不等式,其表述是：在m*n矩阵中,各行元素之和的几何平均 　　不小于各列元素之和的几何平均之积.（应为之积的几何平均之和）