已知k>0，直线．(1)证明：到、的距离的平方和为定值a(a>0)的点的轨迹是圆或椭圆；(2)求到、的距离之和为定值c(c>0)的点的轨迹．

Question

已知k>0，直线．
(1)证明：到、的距离的平方和为定值a(a>0)的点的轨迹是圆或椭圆；
(2)求到、的距离之和为定值c(c>0)的点的轨迹．____

Answer 1

【分析】(1)设动点P(x，y)，依据到l₁、l₂的距离的平方和为定值a得关于x，y的方程，化简即得轨迹方程，再对参数k 进行讨论即可；
\n(2)设动点P(x，y)，依据到l₁、l₂的距离之和为定值c得关于x，y的方程，化简即得轨迹方程，最后依据方程讨论其轨迹．

(1)证明：设点P(x，y)为动点，则+=a，
\n整理得+=1．
\n因此，当k=1时，动点的轨迹为圆；
\n当k≠1时，动点的轨迹为椭圆．
\n(2)设点P(x，y)为动点，则
\n|y-kx|+|y+kx|=c．
\n当y≥k|x|时，y-kx+y+kx=c，即y=c；
\n当y≤-k|x|时，kx-y-y-kx=c，即y=-c；
\n当-k|x|<y<k|x|，x>0时，kx-y+y+kx=c，即x=c；
\n当-k|x|<y<k|x|，x<0时，y-kx-y-kx=c，即x=-c．
\n综上，动点的轨迹为矩形．

【点评】求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题．求符合某种条件的动点的轨迹方程，其实质就是利用题设中的几何条件，用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系．