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已知k>0,直线.(1)证明:到、的距离的平方和为定值a(a>0)的点的轨迹是圆或椭圆;(2)求到、的距离之和为定值c(c>0)的点的轨迹.
题目详情
已知k>0,直线.
(1)证明:到、的距离的平方和为定值a(a>0)的点的轨迹是圆或椭圆;
(2)求到、的距离之和为定值c(c>0)的点的轨迹.____
(1)证明:到、的距离的平方和为定值a(a>0)的点的轨迹是圆或椭圆;
(2)求到、的距离之和为定值c(c>0)的点的轨迹.____
▼优质解答
答案和解析
【分析】(1)设动点P(x,y),依据到l1、l2的距离的平方和为定值a得关于x,y的方程,化简即得轨迹方程,再对参数k 进行讨论即可;
\n(2)设动点P(x,y),依据到l1、l2的距离之和为定值c得关于x,y的方程,化简即得轨迹方程,最后依据方程讨论其轨迹.
\n(2)设动点P(x,y),依据到l1、l2的距离之和为定值c得关于x,y的方程,化简即得轨迹方程,最后依据方程讨论其轨迹.
(1)证明:设点P(x,y)为动点,则+=a,
\n整理得+=1.
\n因此,当k=1时,动点的轨迹为圆;
\n当k≠1时,动点的轨迹为椭圆.
\n(2)设点P(x,y)为动点,则
\n|y-kx|+|y+kx|=c.
\n当y≥k|x|时,y-kx+y+kx=c,即y=c;
\n当y≤-k|x|时,kx-y-y-kx=c,即y=-c;
\n当-k|x|<y<k|x|,x>0时,kx-y+y+kx=c,即x=c;
\n当-k|x|<y<k|x|,x<0时,y-kx-y-kx=c,即x=-c.
\n综上,动点的轨迹为矩形.
\n整理得+=1.
\n因此,当k=1时,动点的轨迹为圆;
\n当k≠1时,动点的轨迹为椭圆.
\n(2)设点P(x,y)为动点,则
\n|y-kx|+|y+kx|=c.
\n当y≥k|x|时,y-kx+y+kx=c,即y=c;
\n当y≤-k|x|时,kx-y-y-kx=c,即y=-c;
\n当-k|x|<y<k|x|,x>0时,kx-y+y+kx=c,即x=c;
\n当-k|x|<y<k|x|,x<0时,y-kx-y-kx=c,即x=-c.
\n综上,动点的轨迹为矩形.
【点评】求曲线的轨迹方程是解析几何的基本问题.求符合某种条件的动点的轨迹方程,其实质就是利用题设中的几何条件,用“坐标化”将其转化为寻求变量间的关系.
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