求证：三角形三条中线的平方和等于三条边的平方和的3/4直角会证,就斜三角形不会,简述一下就行

Question

求证：三角形三条中线的平方和等于三条边的平方和的3/4
直角会证,就斜三角形不会,简述一下就行

Answer 1

设BC边上的中线为AD,延长AD到P,使DP=AD,连接BP,则BP平行于AC,知 角BAC与角ABP互补；在三角形ABP中,由余弦定理得 (2AD)的平方=AP的平方=AB的平方+BP的平方-2AB*BPcos角ABP=AB的平方+AC的平方+2AB*ACcosBAC；在三角形ABC中,由余弦定理得BC的平方=AB的平方+AC的平方-2AB*ACcosBAC,以上两式相加得 (2AD)的平方+BC的平方=2AB的平方+2AC的平方,即 4AD的平方=2AB的平方+2AC的平方-BC的平方 （1）同理,设AC、AB边上的中线分别为 BE、CF,则有 4BE的平方=2AB的平方+2BC的平方-AC的平方 (2) 4CF的平方=2BC的平方+2AC的平方- AB的平方 （3）(1)+(2)+(3)得 4(AD的平方+BE的平方+CF的平方)=3(AB的平方+BC的平方+AD的平方).