因式分解、平方差、完全平方

Question

因式分解、平方差、完全平方

Answer 1

平方差公式
a" - b" = ( a + b )( a - b )
完全平方公式
a" + 2ab + b" = ( a + b )"
a" - 2ab + b" = ( a - b )"
正如
11" = 121
= ( 10 + 1 )" = 100 + 20 + 1
= 10" + 2 X10 X1 + 1"
这也是 a" + 2ab + b" = ( a + b )" 最典型的例子
还有
12" = 144 代表 ( x + 2 )" = x" + 4x + 4
13" = 169 代表 ( x + 3 )" = x" + 6x + 9
21" = 441 代表 ( 2x + 1 )" = 4x" + 4x + 1
31" = 961 代表 ( 3x + 1 )" = 9x" + 6x + 1
这些不进位的平方数,
百位数、十位数,就分别是二次项 a"、一次项 a 的系数,
个位数就是常数项 b" 的数值.
或者 b = -c
( a + b )" = ( a - c )"
= [ a + (-c) ]" = a" - 2ac + c"
= a" + 2a(-c) + (-c)"
= a" + 2ab + b"
正如
9" = 81
= ( 10 - 1 )" = [ 10 + (-1) ]"
= 100 - 20 + 1" = 100 + (-20) + (-1)"
就有 ( a + b )" 完全包括 ( a - b )"
完全平方公式就只有一个
a" + 2ab + b" = ( a + b )"
再看看平方差
5 X 5 = 25
4 X 6 = 24 = ( 5 - 1 )( 5 + 1 ) = 25 - 1
3 X 7 = 21 = ( 5 - 2 )( 5 + 2 ) = 25 - 4
2 X 8 = 16 = ( 5 - 3 )( 5 + 3 ) = 25 - 9
1 X 9 = 9 = ( 5 - 4 )( 5 + 4 ) = 25 - 16
其中还有勾股数 3" + 4" = 5",
这些数字也正好表示平方差
计算二次方,或者用平方差更方便
a"
= a" - b" + b"
= ( a - b )( a + b ) + b"
看吧
9" = 81 = 8 X 10 + 1 = ( 9 - 1 )( 9 + 1 ) + 1"
8" = 64 = 6 X 10 + 4 = ( 8 - 2 )( 8 + 2 ) + 2"
7" = 49 = 4 X 10 + 9 = ( 7 - 3 )( 7 + 3 ) + 3"
其实
( a - b )( a + b ) + b"
= ( a - b )( a - b + 2b ) + b"
= ( a - b )" + 2b( a - b ) + b"
或者
= ( a + b - 2b )( a + b ) + b"
= ( a + b )" - 2b( a + b ) + b"
也正如 a" + 2ab + b" 和 a" - 2ab + b"
这样也帮我们记住,
完全平方式的第三项 b" 必须是 ( +b" )
注意：两个完全平方式相减,就也是平方差啊!
例如
4( 2x + y )" - 9( x - y )"
= [ 2( 2x + y ) + 3( x - y ) ][ 2( 2x + y ) - 3( x - y ) ]
= ( 4x + 2y + 3x - 3y )( 4x + 2y - 3x + 3y )
= ( 7x - y )( x + 5y )