已知两个正数的立方和是最小的质数．求证：这两个数之和不大于2．

Question

已知两个正数的立方和是最小的质数．求证：这两个数之和不大于2．

Answer 1

证明：设这两个正数为a，b．则原题成为已知a³+b³=2，求证a+b≤2，（反证法）
若a+b＞2，由于a³+b³=2，必有一数小于或等于1，
设b≤1，则a＞2b，因为这个不等式两边均为正数，所以a³＞（2-b）³，
a³＞8-12b+6b²-b³，即a³+b³＞8-12b+6b²，
故6b²-12b+6＜0，即b²-2b+1＜0，
即（b-1）²＜0不成立，
所以a+b≤2．
即本题的结论是正确的．