若多项式（1+x）16=a0+a1x+a2x2+…+a16x16，则a1+2a2+3a3+…+8a8=（）A.218B.217C.216D.215

Question

若多项式（1+x）¹⁶=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₆x¹⁶，则a₁+2a₂+3a₃+…+8a₈=（　　）
A. 2¹⁸
B. 2¹⁷
C. 2¹⁶
D. 2¹⁵

Answer 1

由（1+x）¹⁶=a₀+a₁x+a₂x²+…+a₁₆x¹⁶，可知，
a₀=C₁₆⁰ a₁=C₁₆¹  a₂=C₁₆²    …a₈=C₁₆⁸ 
故（a₁+2a₂+3a₃+…+8a₈）=C₁₆¹+2C₁₆²+…+8C₁₆⁸ 
因为C_mⁿ=(m)/(n)C_m-1^n-1  （m≥n，且同是自然数．）
故C₁₆¹+2C₁₆²+…+8C₁₆⁸=C₁₆¹+2×(16)/(2)C₁₅¹+3×(16)/(3)C₁₅²+…+8×(16)/(8)C₁₅⁷ 
=16（C₁₅⁰+C₁₅¹+C₁₅²+…+C₁₅⁷）
因为，C_mⁿ=C_m^m-n
故C₁₆¹+2C₁₆²+…+8C₁₆⁸ 
=(16)/(2)（C₁₅⁰+C₁₅¹+C₁₅²+…+C₁₅¹⁵）
=(16)/(2)×215
=2¹⁸
故a₁+2a₂+3a₃+…+8a₈=2¹⁸．
故选A．