二项式展开式的逆用裂项已知数列{an}的通项公式为an=2^(n-1),其前n和为Sn,那么C(n,1)S1+C(n,2)S2+.C(n,n)Sn=（）答案是3^n-2^n怎么解出来的?

Question

二项式展开式的逆用裂项
已知数列{an}的通项公式为an=2^(n-1) ,其前n和为Sn,那么C(n,1)S1+C(n,2)S2+.
C(n,n)Sn=（ ）
答案是3^n-2^n
怎么解出来的?

Answer 1

C(2,3)：上标是2,下标是3
Sn=(2^n)－1
则：
Tn=C(1,n)S1＋C(2,n)S2＋…＋C(n,n)Sn
Tn=C(1,n)×2＋C(2,n)×2²＋C(3,n)×2³＋…＋C(n,n)×2^n－[C(1,n)＋C(2,n)＋…＋C(n,n)]
Tn=[(2＋1)^n－C(0,n)]－[(1＋1)^n－C(0,n)]
Tn=3^n－2^n