1.已知a^2+b^2=1,x^2+y^2=1,求证（ax+by)^2+(bx-ay)^2=12.关于x的二次三项式,二次项系数是1,常数项-12,并且它在整数范围内能够因式分解,试写出4个符合要求的二次三项式.3.已知多项式x^4+4x^2+3x+4有一个因

Question

1.已知a^2+b^2=1,x^2+y^2=1,求证（ax+by)^2+(bx-ay)^2=1
2.关于x的二次三项式,二次项系数是1,常数项-12,并且它在整数范围内能够因式分解,试写出4个符合要求的二次三项式.
3.已知多项式x^4+4x^2+3x+4有一个因式为x^2+ax+1,求a的值以及多项式的另一个因式.

Answer 1

1、a^2+b^2=1,x^2+y^2=1
两式相乘得：
(a^2+b^2)(x^2+y^2)=1
a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2=1
（ax+by)^2+(bx-ay)^2
=a^2x^2+2abxy+b^2y^2+b^2x^2+a^2y^2-2abxy
=a^2x^2+a^2y^2+b^2x^2+b^2y^2
=1
得证!
2、因为-12可分解成（-1）×12或（-2）×6或（-3）×4或（-4）×3
所以可得四组：
x^2+11x-12
x^2+8x-12
x^2+x-12
x^2-x-12
3、设另一个因式是x^2+bx+4,
(x^2+bx+4)(x^2+ax+1)
=x^4+(a+b)x^3+(5+ab)x^2+(4a+b)x+4
所以得：
a+b=0
5+ab=4
4a+b=3
容易解得a=1,b=-1
所以a=1,这个多项式的另一个因式是x^2-x+4
完毕!
回答了这么多,不给点追加可实在不好意思啊!