已知（√m＋２╱㎡）的n次方的展开式中第五项的系数与第三项的系数之比是56：3,求展开式中的常数项

Question

已知（√m＋２╱㎡）的n次方的展开式中第五项的系数与第三项的系数之比是56：3,求展开式中的常数项

Answer 1

展开式中第五项的系数是：
2^4×C(4,n)
第三项的系数是：
2²×C(2,n)
则：
[2^4×C(4,n)]：[2²×C(2,n)]=14：3
14C(2,n)=3C(4,n)
14×{n!/[2!×(n－2)!]}=3×{n!/[4!×(n－4)!]}
14/[(n－2)(n－3)]=1/4
n²－5n－50=0
(n－10)(n＋5)=0
则：
n=10
即：
[√m＋2/m²]^10
展开式中的常数项是：
T(2＋1)=[C(2,10)]×[(√m)^8]×[(2/m²)²]=C(2,10)×4=180
展开式中的常数项是180