设an（n=2，3，4…）是(3+x)n展开式中x的一次项的系数，则20102009(32a2+33a3+…+32010a2010)的值是．

Question

设a _n （n=2，3，4…）是 (3+

x

) n 展开式中x的一次项的系数，则 (2010)/(2009) ((32)/(a2) +(33)/(a3) +…+(32010)/(a2010) ) 的值是______．

Answer 1

(3+

x

) n 展开式的通项为

C

rn

3 n-r • (

x

) r =

3 n-r C

rn

x (r)/(2) ，令 (r)/(2) =1 ，得r=2．展开式中x的一次项的系数为3 ^n-2 C _n ² ，即a _n =3 ^n-2 C _n ² （n≥2）．
我∴ (3n)/(an) = (32)/(C2n) = (18)/(n(n-1)) =18（ (1)/(n-1) -(1)/(n) ），，∴ (2010)/(2009) ((32)/(a2) +(33)/(a3) +…+(32010)/(a2010) ) = (2010)/(2009) ×18×（1 -(1)/(2) + (1)/(2) -(1)/(3) +… (1)/(2009) -(1)/(2010) ）=18× (2010)/(2009) × (1-(1)/(2010) ) =18×1=18
故答案为：18．