关于函数极限的判断题,求反例.两个函数积得极限是零.则至少有一个函数的极限是0.这句话是错误的.求反例

Question

关于函数极限的判断题,求反例.
两个函数积得极限是零.则至少有一个函数的极限是0.这句话是错误的.求反例

Answer 1

两函数乘积的极限为零,那么各自的极限不一定有一个为零.
例如：狄利克雷函数 D(x) =1,当x为有理数； D(x) =0,当x为无理数.(D(x)=lim(n→∞){lim(m→∞)[cosπm!x]^n}),这是个处处不连续处处不可导的函数.这个函数也可以解释你提出的问题.
设 f(x) = D(x),
g(x) = 0,当x为有理数； g(x) = 1,当x为无理数.
则 F(x) = f(x) * g(x) ≡（这个符号是恒等） 0,F(x)在任意点的极限都是0,
但是 f(x) 及g(x) 在任一点处都没有极限（即极限不存在.）