求个比较简单的数学证明题求证：(amodx)^b=(a^b)mod(x^b)a,b为整数x为质数上式错误，更正为：求证：((amodx)^b)modx=((a^b)mod(x^b))modxa,b为整数x为质数

Question

求个比较简单的数学证明题
求证：(a mod x)^b = (a^b) mod (x^b) 【a,b为整数 x为质数】
上式错误，更正为：
求证：((a mod x)^b) mod x = ((a^b) mod (x^b)) mod x 【a,b为整数 x为质数】

Answer 1

令a≡c(mod x),…………………………………………（1）
有a^b≡c^b(mod x )
存在整数a[1],a[2],……a[n],（n>=b）使
a^b=c^b+a[1]x+a[2]x^2+……+a[n]x^n成立.
所以有
a^b ≡ c^b+a[1]x+a[2]x^2+……+a[b-1]x^(b-1) (mod x^b)
c^b+a[1]x+a[2]x^2+……+a[b-1]x^(b-1) ≡ c^b (mod x)
即
((a^b) mod (x^b)) ≡ c^b (mod x) ……………………（2）
由（1）（2）有
((a^b) mod (x^b)) ≡ (a mod x)^b (mod x)
((a mod x)^b) mod x = ((a^b) mod (x^b)) mod x