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证明题:设a>b>0,n>1,证明n[b^(n-1)](a-b)
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证明题:设a>b>0 ,n>1 ,证明 n[b^(n-1)](a-b)
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答案和解析
∵a>b>0 ,n>1 ,
∴a^n - b^n=（a-b）（a^（n-1）+a^（n-2）b+.+ab^(n-2)+b^(n-1))
＞（a-b）（b^（n-1）+b^（n-2）b+.+bb^(n-2)+b^(n-1))
=（a-b）（b^（n-1）+b^（n-1）+.+b^(n-1)+b^(n-1))
=n[b^(n-1)](a-b),
a^n - b^n=（a-b）（a^（n-1）+a^（n-2）b+.+ab^(n-2)+b^(n-1))
＜（a-b）（a^（n-1）+a^（n-2）a+.+aa^(n-2)+a^(n-1))
=（a-b）（a^（n-1）+a^（n-1）+.+a^(n-1)+a^(n-1))
= n[a^(n-1)](a-b),
故 n[b^(n-1)](a-b)
∴a^n - b^n=（a-b）（a^（n-1）+a^（n-2）b+.+ab^(n-2)+b^(n-1))
＞（a-b）（b^（n-1）+b^（n-2）b+.+bb^(n-2)+b^(n-1))
=（a-b）（b^（n-1）+b^（n-1）+.+b^(n-1)+b^(n-1))
=n[b^(n-1)](a-b),
a^n - b^n=（a-b）（a^（n-1）+a^（n-2）b+.+ab^(n-2)+b^(n-1))
＜（a-b）（a^（n-1）+a^（n-2）a+.+aa^(n-2)+a^(n-1))
=（a-b）（a^（n-1）+a^（n-1）+.+a^(n-1)+a^(n-1))
= n[a^(n-1)](a-b),
故 n[b^(n-1)](a-b)
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