函数证明题证明:定义在R上的函数f[f(x)]=x^2-1996不存在

Question

函数证明题
证明:定义在R上的函数f[f(x)]=x^2-1996 不存在

Answer 1

【证】令g（x）=f[f（x）]=x2-1996,设a、b为x2-1996=x的两个实根,则a、b是g（x）的不动点．设f(a）=p,则f[f（p）]=f[f（f（a））]=f（a）=p,即p也是g（x）的不动点,所以f（a）∈{a,b}．
同理,f（b）∈{a,b}．
令h（x）=g[g（x）]=（x2-1996）2-1996,则
所以h（x）存在四个不动点a、b、c、d．
因为c2+c-1995=0,所以g（c）=c2-1996=-c-1=d．
同理g（d）=c．
令f（c）=r,则h[f（c）]=f[h（c）]=f（c）,即r亦是h（x）的不动点．
若r∈{a,b},则d=f（r）∈{a,b},矛盾；若r=c,则g（c）=f（r）=f（c）=r=c,矛盾；若r=d,则d=g（c）=f（r）=f（d）,g（d）=g（r）=g（f（c））=f（g（c））=f（d）=d,矛盾．
综上所述,满足条件的函数f（x）不存在．