谁能证明这个没有条件的几何题?已知：只有图,没有条件（就是说那些点怎么拖动都可以）.求证：图中A、B、C共线（如果没有平行线的话）

Question

谁能证明这个没有条件的几何题?
已知：只有图,没有条件（就是说那些点怎么拖动都可以）.
求证：图中A、B、C共线（如果没有平行线的话）

Answer 1

转化一下：题目为过一点O的3条直线上各取2点,分别连结2条直线上对应2点形成2条直线交于1点,证明这样生成的3个点ABC共线.
用解析法证：
以O点为原点建立坐标系,3条直线分别为
l1:y=k1x l2:y=k2x l3:y=k3x
（合理旋转使3条直线不与轴重合）
取的点分别为
(x1,k1x1)(x1',k1x1')(x2,k2x2)(x2',k2x2')(x3,k3x3)(x3',k3x3')
对于l1 l2做两条直线分别为：
y-k1x1=(k2x2-k1x1)/(x2-x1)(x-x1)
y-k1x1'=(k2x2'-k1x1')/(x2'-x1')(x-x1')
看似很烦,但解方程时发现很多可以消掉的项
解得交点
A:[(1/x1-1/x1'+1/x2'-1/x2)/(1/x1x2'-1/x1'x2),(k2/x1-k2/x1'+k1/x2'-k1/x2)/(1/x1x2'-1/x1'x2)]
同理可得另2个交点：
B:[(1/x2-1/x2'+1/x3'-1/x3)/(1/x2x3'-1/x2'x3),(k3/x2-k3/x2'+k2/x3'-k2/x3)/(1/x2x3'-1/x2'x3)]
C:[(1/x3-1/x3'+1/x1'-1/x1)/(1/x3x1'-1/x3'x1),(k1/x3-k1/x3'+k3/x1'-k3/x1)/(1/x3x1'-1/x3'x1)]
AB斜率=(yA-yB)/(xA-xB)
AC斜率=(yC-yA)/(xC-xA)
很容易验证上述两个斜率相等.故ABC共线.