在三角形ABC中,角ABC所对的边分别为abc,BC边上的高AD=BC,求b/c+c/b的取值范围!我算的结果是大于等于2小于等于二分之三倍根号二！可老师说是小于等于根号5

Question

在三角形ABC中,角A B C 所对的边分别为a b c,BC边上的高AD=BC,求b/c+c/b的取值范围!
我算的结果是大于等于2小于等于二分之三倍根号二！
可老师说是小于等于根号5

Answer 1

（1）令m=b/c,先求出b/c的取值范围
b/c在AC垂直BC时取最小值
此时AC=BC=a,所以b/c=a/[(根号2)a]=(根号2)/2
b/c在AB垂直BC时取最大值
此时AB=BC=a,所以b/c=(根号2)a/a=根号2
（2）求b/c+c/b的取值范围即是求函数f(m)=m+1/m,m∈[根号2/2,根号2]的值域
f(m)=m+1/m
由均值不等式得
f(m)≥2,当m=1,即b=c时取最小值2
又f(根号2/2)=根号2/2+根号2=3(根号2)/2
f(根号2)=根号2+(1/根号2)=3(根号2)/2
所以f(m)的最大值是3(根号2)/2
（3）结论,b/c+c/b的取值范围是[2,3(根号2)/2]