证明不等式x/根号Y+Y/根号x≥根号x+根号Y(其中XY是正数)用高中知识!是推理证明这一节的习题.

Question

证明不等式 x/根号Y+Y/根号x≥根号x+根号Y (其中X Y 是正数)
用高中知识!是推理证明这一节的习题.

Answer 1

三种方法,第一用柯西不等式
(x/√y+y/√x)(√y+√x)≥(√(x/√y*√y)+√(y/√x*√x))^2=(√x+√y)^2
所以x/√y+y/√x≥√x+√y
第二用综合法
x/√y+y/√x-√x-√y=(x√x+y√y-x√y-y√x)/√(xy)
=(x-y)(√x-√y)/√(xy)=(√x-√y)^2(√x+√y)/√(xy)≥0
第三用排序不等式
不妨设x≥y,则1/√x≤1/√y
左边为顺序和,右边为反序和,所以左边≥右边