如何建立任意正交曲线坐标系？我所找到的书籍中，只给出了一些常用的正交曲线坐标系，却并没有给出正交坐标系的一般建立方法。这里只讨论平面情形，比如说，给出由方程x^3+y^5==r

Question

如何建立任意正交曲线坐标系？
我所找到的书籍中，只给出了一些常用的正交曲线坐标系，却并没有给出正交坐标系的一般建立方法。这里只讨论平面情形，比如说，给出由方程 x^3 + y^5 == r （r > 0）确定的一系列曲线，我想以这个 r 为新坐标系的一个基，那么，我该怎么找到这个新坐标系的另一个基？也就是，我该怎么找到和这一系列曲线处处正交的另外一系列曲线？

Answer 1

首先求点(x,y)处曲线的切向量.
用隐函数求导可知(x,y)处的切向量可取为(5y⁴,-3x²).
由此得到平面上一个光滑向量场, 取与之正交的向量场(3x²,5y⁴).
设正交曲线参数方程为r(t) = (x(t),y(t)).
然后求解微分方程组: x'(t) = 3x(t)², y'(t) = 5y(t)⁴.
解得x(t) = -1/(3t+A), y(t) = -1/³√(15t+B), 其中A, B是由初值给出的常数.
最后消去t, -5/x(t)-5A = -1/y(t)³-B, 得到方程5y³-x = Cxy³.
随C的变动给出一族正交曲线.
注意方程还有两个特解, x(t) = 0, y(t) = -1/³√(15t+B)与x(t) = -1/(3t+A), y(t) = 0.
分别对应y轴和x轴两条曲线.
因此完全的曲线族为: 5y³-x = Cxy³和x = 0和y = 0.
解法中正交向量场的取法不唯一, (6x²,10y⁴), (3x³,5xy⁴)等都可以.
微分方程虽然不同, 但对应的曲线相同, 只是参数化的方法不同.
对于更复杂的曲线族, 微分方程可能不好解, 或者解出来后也无法消去t.