已知有如下均值不等式：对任意三个正数a,b,c,有a+b+c≥3*（abc的3次方根）,当且仅当a=b=c时等号成立.有矩形铁皮,长为30cm,宽为14cm,要从四角上剪掉边长为xcm的四个小正方形,将剩余部分折成一个

Question

已知有如下均值不等式：
对任意三个正数a,b,c,有a+b+c≥3*（abc的3次方根）,当且仅当a=b=c时等号成立.
有矩形铁皮,长为30cm,宽为14cm,要从四角上剪掉边长为xcm的四个小正方形,将剩余部分折成一个无盖的矩形盒子,问x为何值时,矩形盒子容积最大?最大容积是多少?

Answer 1

q.
若a,b,c∈R+,则（a+b+c）/3≥3√abc,当且仅当a=b=c .
注:（a+b+c）/3≥3√abc右边的3应当理解为根指数,即所证不等式应为:(a+b+c)/3≥(abc)^(1/3).
证明一:令a=x^3,b=y^3,c=z^3.
因为 x^3+y^3+z^3-3xyz=(x+y+z)(x^2+y^2+z^2-xy-yz-zx)
=(x+y+z)[(x-y)^2+(y-z)62+(z-x)^2]/2>=0,
所以 x^3+y^3+z^3>=3xyz,
即 (a+b+c)/3≥(abc)^(1/3).
证明二:先证两个数的情形;
(a+b)/2>=√(ab).(1)
(1)(√a-√b)^2>=0(显然成立)
再证四个数的情形;
(a+b+c+d)/4>=(abcd)^(1/4) (2)
反复应用(1)得
(a+b+c+d)/4=[(a+b)/2+(c+d)/2]/2
>=(√(ab)+√(cd))/2>=√[√(ab)√(cd)]
=(abcd)^(1/4).
最后证三个数的情形;
(a+b+c)/3>=(abc)^(1/3).
在(2)中取d=(a+b+c)/3,得
(a+b+c+(a+b+c)/3)/4>=(abc(a+b+c)/3d)^(1/4) ,
即(a+b+c)/3>=(abc(a+b+c)/3d)^(1/4),
两边4次方,并约去(a+b+c)/3得
[(a+b+c)/3]^3>=abc,
两边开立方,得
(a+b+c)/3>=(abc)^(1/3)
2.
【分析】实际问题中,最大值、最小值的研究,先由已知条件选取合适的变量建立目标函数,将实际问题转化为函数最大值和最小值的研究.
【解】 依题意,矩形盒子底边边长为(30－2x)cm,底边宽为(14－2x)cm,高为xcm.
∴ 盒子容积 V＝(30－2x)(14－2x)x＝4(15－x)(7－x)x ,
显然:15－x>0,7－x>0,x>0.
设V＝(4/ab) (15a－ax)(7b－bx)x (a>0,b>0）
要使用均值不等式,则
-a-b+1=0 和15a-ax=7b-bx=x两方程联立
解得：a＝1/4 ,b＝3/4 ,x＝3 .
从而V＝64/3 (15/4 －x/4 )(21/4 －3/4 x)x≤ 64/3((15/4+21/4)/3 ) ^3＝ 64/3 ×27＝576.
所以当x＝3时,矩形盒子的容积最大,最大容积是576cm .