已知函数f（x）=ex+e-x，其中e是自然对数的底数．（1）判断并证明f（x）的奇偶性；（2）若关于x的不等式mf（x）≤e-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；（3）已知正数a满足：存

Question

已知函数f（x）=e^x+e^-x，其中e是自然对数的底数．
（1）判断并证明f（x）的奇偶性；
（2）若关于x的不等式mf（x）≤e^-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
（3）已知正数a满足：存在x₀∈[1，+∞），使得f（x₀）<a（-x₀³+3x₀）成立，试比较e^a-1与a^e-1的大小，并证明你的结论．

Answer 1

（1） f（x）为定义域上的偶函数．
证明：f（x）=e^x+e^-x的定义域为R，
∵f（-x）=e^-x+e^x=f（x），∴f（x）为定义域上的偶函数；
（2） 若关于x的不等式mf（x）≤e^-x+m-1在（0，+∞）上恒成立，
即m（e^x+e^-x-1）≤e^-x-1在（0，+∞）上恒成立，
∵x>0，∴e^x+e^-x-1>0，
即m≤(e-x-1)/(ex+e-x-1)在（0，+∞）上恒成立，
设t=e^x（t>1），则m≤(1-t)/(t2-t+1)在（1，+∞）上恒成立．
∵(1-t)/(t2-t+1)=-(t-1)/((t-1)2+(t-1)+1)=-(1)/((t-1)+(1)/(t-1)+1)≥-(1)/(3)．
当且仅当t=2时上式等号成立．
∴m≤-(1)/(3)；
（3） 令g（x）=e^x+e^-x-a（-x³+3x）．
则g′（x）=e^x-e^-x+3a（x²-1），
当x>1时，g′（x）>0，即g（x）在（1，+∞）上单调递增，故此时g（x）的最小值g（1）=e+(1)/(e)-2a．
由于存在x₀∈[1，+∞），使得f（x₀）<a（-x₀³+3x₀）成立，
故e+(1)/(e)-2a<0，即a>(1)/(2)（e+(1)/(e)）．
令h（x）=x-（e-1）lnx-1，h′（x）=1-(e-1)/(x)，
由h′（x）=1-(e-1)/(x)=0，解得x=e-1．
当0<x<e-1时，h′（x）<0，此时函数单调递减，当x>e-1时，h′（x）>0，此时函数单调递增．
∴h（x）在（0，+∞）上的最小值为h（e-1）．
注意到h（0）=h（1）=0，
∴当x∈（1，e-1）⊆（0，e-1）时，h（e-1）≤h（x）<h（1）=0．
x∈（e-1，e）⊆（e-1，+∞）时，h（x）<h（e）=0．
∴h（x）<0对任意x∈（1，e）成立．
①a∈（(1)/(2)(e+(1)/(e))，e）⊆（1，e）时，h（a）<0，即a-1<（e-1）lna，从而e^a-1<a^e-1；
②a=e时，e^a-1=a^e-1；
③a∈（e，+∞）⊆（e-1，+∞）时，h（a）>h（e）=0，即a-1>（e-1）lna，从而e^a-1>a^e-1 ．