若关于x的不等式ex-（a+1）x-b≥0（e为自然对数的底数）在R上恒成立，则（a+1）b的最大值为（）A.e+1B.e+12C.e2D.e4

Question

若关于x的不等式e^x-（a+1）x-b≥0（e为自然对数的底数）在R上恒成立，则（a+1）b的最大值为（　　）

A. e+1

B. e+

(1)/(2)

C.

(e)/(2)

D.

(e)/(4)

Answer 1

不等式e^x-（a+1）x-b≥0（e为自然对数的底数）在R上恒成立，令f（x）=e^x-（a+1）x-b，则f（x）≥0在R上恒成立．
只需要f（x）_min≥0即可．
f′（x）=e^x-（a+1）
令f′（x）=0，
解得x=ln（a+1），（a>-1）
当x∈（-∞，ln（a+1））时，f′（x）<0，则f（x）时单调递减．
当x∈（ln（a+1），+∞）时，f′（x）>0，则f（x）时单调递增．
故x=ln（a+1）时，f（x）取得最小值
即（a+1）-（a+1）ln（a+1）≥b
那么：（a+1）²[1-ln（a+1）]≥b（a+1）
令（a+1）=t，（t>0）
则现求g（t）=t²-t²lnt的最大值．
g′（t）=2t-2t•lnt-(1)/(t)•t2
令g′（t）=0，解得：t=e(1)/(2)
得极大值为g（e(1)/(2)）=(e)/(2)
∴（a+1）b的最大值为(e)/(2)．
故选C．