有没有关于无理数次幂的运算法则?对于有理数幂的运算,我们大家都是比较熟悉的,但是无理次幂要怎么算呢?有没有什么运算法则?对于指数函数y=a^x,我们只考虑底数a>0且a不等于1的情况,若a小

Question

有没有关于无理数次幂的运算法则?
对于有理数幂的运算,我们大家都是比较熟悉的,但是无理次幂要怎么算呢?有没有什么运算法则?对于指数函数 y=a^x,我们只考虑底数a>0且a不等于1的情况,若a小于0时,函数的图像有规律吗?反函数是否存在?若存在的话,怎么求它的反函数?还有就是-1的无理次幂要怎么算?

Answer 1

如果在复数范围内研究,指数函数y=a^x是这样定义的：y=e^(x*lna),实变函数里的指数函数可以看作是它的特例. 我们知道,在实数范围内,负数与0是没有对数的,所以实变函数里的指数函数的底a只能取正数；在复数范围内,0仍然是没有对数的,非零复数都是有对数的,就是说负数是有对数的,负数的对数是一个虚数,如果a是负数,则lna=ln|a|+i*(2k+1)π（k为整数）, 例如ln(-1)=i*(2k+1)π（k为整数）. 而对复数m+i*n（m、n是实数）, e^(m+i*n)定义为(e^m)*(cosn+i*sinn), 这样函数y=(-1)^x=e^[x*ln(-1)]=e^[i*(2k+1)π*x] 当x=1/3时,y=e^[i*(2k+1)π/3],有三个函数值： k=0,y=e^[i*π/3]=cos(π/3)+i*sin(π/3)=(1/2)+i*(√3)/2 k=1,y=e^[i*π]=cos(π)+i*sin(π)=-1 k=2,y=e^[i*5π/3]=cos(5π/3)+i*sin(5π/3)=(1/2)-i*(√3)/2 其中恰好有一个是实数,不要误以为-1是实变函数里指数函数的函数值. 如果x取无理数,y=(-1)^x是有无穷多值的函数.
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