∞∑k*p*q(k-1)（这个k-1是这个q的指数,也就是q的k-1次幂）k=1其中p=1-q结果是1/p但是怎么算出来得那?我是说这个求和是怎么样做到1/p这个结果的步骤第一第二个人回答的是什么啊？

Question

∞
∑k*p*q(k-1)（这个k-1是这个q的指数,也就是q的k-1次幂）
k=1
其中 p=1-q
结果是1/p
但是怎么算出来得那?
我是说这个求和是怎么样做到1/p这个结果的步骤
第一第二个人回答的是什么啊？

Answer 1

∑k*p*q(k-1)=1*(1-q)q^0+2(1-q)q^1+3(1-q)q^2+.
=(1-q)[1+2q+3q^2+4q^3+...)
设Sk=1+2q+3q^2+...+kq^(k-1)
Sk*q=q+2q^2+3q^3+...kq^k
Sk(1-q)=1+q+q^2+...q^(k-1)-kq^k=(1-q^k)/(1-q)-kq^k
∑k*p*q(k-1)=(1-q)*Sk==(1-q^k)/(1-q)-kq^k
k---∞
所以q^k=0,-kq^k=0
∑k*p*q(k-1)=1/(1-q)=1/p