已知：如图，A（0，1）是y轴上一定点，B是x轴上一动点，以AB为边，在∠OAB的外部作∠BAE=∠OAB，过B作BC⊥AB，交AE于点C。（1）当B点的横坐标为时，求线段AC的长；（2）当点B在x轴上运

Question

已知：如图，A（0，1）是y轴上一定点，B是x轴上一动点，以AB为边，在∠OAB的外部作∠BAE=∠OAB ，过B作BC⊥AB，交AE于点C。
（1）当B点的横坐标为时，求线段AC的长；
（2）当点B在x轴上运动时，设点C的纵、横坐标分别为y、x，试求y与x的函数关系式（当点B运动到O点时，点C也与O点重合）；
（3）设过点P（0，-1）的直线l与（2）中所求函数的图象有两个公共点M ₁ （x ₁ ，y ₁ ）、M ₂ （x ₂ ，y ₂ ），且x ₁ ² +x ₂ ² -6（x ₁ +x ₂ ）=8，求直线l的解析式。

Answer 1

（1）在Rt△AOB中，可求得AB= ， ∵∠OAB=∠BAC，∠AOB=∠ABC=Rt∠ ， ∴△ABO∽△ABC， ∴ ， 由此可求得：AC= ； （2）当B不与O重合时，延长CB交y轴于点D，过C作CH⊥x轴，交x轴于点H，则可证得AC=AD， ∵AO⊥OB，AB⊥BD， ∴△ABO∽△BDO，则OB2=AO×OD----6′， 即 ，化简得：y= ， 当O、B、C三点重合时，y=x=0， ∴y与x的函数关系式为：y=- ； （3）设直线的解析式为y=kx+b，则由题意可得： ， 消去y得：x 2 -4kx-4b=0，则有 ， 由题设知：x 1 2 +x 2 2 -6（x 1 +x 2 ）=8，即（4k） 2 +8b-24k=8，且b=-1，则16k 2 -24k-16=0， 解之得：k 1 =2，k 2 = ， 当k 1 =2、b=-1时，△=16k 2 +16b=64-16>0，符合题意； 当k 2 = ，b=-1时，△=16k 2 +16b=4-16<0，不合题意（舍去）， ∴所求的直线l的解析式为：y=2x-1。