如图，已知抛线C：x2=4y，过点M（0，2）任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D（O为坐标原点）．（Ⅰ）求D的纵坐标y0的值；（Ⅱ）作C的任意一条切线l（不含x

Question

如图，已知抛线C：x²=4y，过点M（0，2）任作一直线与C相交于A，B两点，过点B作y轴的平行线与直线AO相交于点D（O为坐标原点）．
（Ⅰ）求D的纵坐标y₀的值；
（Ⅱ）作C的任意一条切线l（不含x轴），与直线y=2相交于点N₁，与直线y=y₀相交于点N₂．求|MN₂|²-|MN₁|²的值．

Answer 1

（1）依题意可设AB的方程为y=kx+2，代入x²=4y，
得x²=4（kx+2），即x²-4kx-8=0．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则有x₁x₂=-8．
直线AO的方程为y=(y1)/(x1)x，BD的方程为x=x₂，
解得交点D的坐标为

x＝x2

y＝(y1x2)/(x1)

，
x₁x₂=-8，x12=4y₁，
∴y=(y1x1x2)/(x12)=-(8y1)/(4y1)=-2，
∴点D在定直线y=-2上，（x≠0），
∴D的纵坐标y₀=-2．
（2）依题意，切线l的斜率存在且不等于0．
设切线l的方程为y=ax+b（a≠0），代入x²=4y，得x²=4（ax+b），
即x²-4ax-4b=0．
由△=0得（4a）²+16b=0，化简整理得b=-a²．
故切线l的方程可写为y=ax-a²．
分别令y=2，y=-2，得N1，N2的坐标为N₁（(2)/(a)+a，2），N₂（-(2)/(a)+a，-2）
则|MN₂|²-|MN₁|²=((2)/(a)−a)2+42−((2)/(a)+a)2=8．