已知a∈R，函数f（x）=x|x-a|（1）判断函数f（x）=x|x-a|的奇偶性；（2）当a＞0时，求函数f（x）=x|x-a|在区间[0，1]上的最大值．

Question

已知a∈R，函数f（x）=x|x-a|
（1）判断函数f（x）=x|x-a|的奇偶性；
（2）当a＞0时，求函数f（x）=x|x-a|在区间[0，1]上的最大值．

Answer 1

（1）由题意可知函数f（x）的定义域为R．
当a=0时f（x）=x|x-a|=x|x|，为奇函数．
当a≠0时，f（x）=x|x-a|，
f（1）=|1-a|，f（-1）=-|1+a|，
f（-x）≠f（x）且f（-x）≠-f（x），
∴此时函数f（x）为非奇非偶函数．
（2）由题意可得f（x）=

x2−ax＝(x−(a)/(2))2−(a2)/(4)，x≥a

ax−x2＝−(x−(a)/(2))2+(a2)/(4)，x＜a

，
由于a＞0且0≤x≤1，结合函数f（x）的图象可知，
由x2−ax＝(a2)/(4)，即x＝((1+√(2))/(2))a，
当(a)/(2)≥1，即a≥2时，f（x）在[0，1]上单调递增，
∴f（x）的最大值为f（1）=a-1；
当(1)/(2)＜1＜((1+√(2))/(2))a，
即2(√(2)−1)≤a＜2时，f（x）在[0，(a)/(2)]上递增，在[(a)/(2)，a]上递