对于二次函数Y=aX2+bX+c如果当X取任意整数时,函数值Y都是整数,那莫我们把该函数的图象叫做整点抛物线为什莫不存在二次项系数的绝对值小于0.5的整点抛物线?

Question

对于二次函数Y=aX2+bX+c如果当X取任意整数时,函数值Y都是整数,那莫我们把该函数的图象叫做整点抛物线
为什莫不存在二次项系数的绝对值小于0.5的整点抛物线?

Answer 1

不存在
反证法：
假设存在二次项系数的绝对值小于1/2的整点抛物线
并设为：y=ax^2+bx+c（|a|<1/2)
则由x=0时,y是整数得到：c是整数
再由x=1,x=-1时都是整数得到：
a+b+c=p(p是整数）
a-b+c=q(q是整数）
两式相加得到：2a+2c=p+q是整数
因为2c,p+q都是整数
所以2a也是整数
但由假设|a|<1/2,|2a|<1,2a不是整数
两者矛盾
所以假设不成立
所以不存在二次项系数的绝对值小于1/2的整点抛物线